Nyheter om lösningar till Einsteins ekvationer

1993 publicerade Christodoulou och Klainerman, båda från Princeton University, ett berömt arbete [2] där de visade att Minkowskirummet är en stabil lösning till Einsteins ekvationer i vakuum. Innebörden är att om man betraktar Einsteins ekvationer i vakuum som ett begynneslevärdesproblem och väljer initialdata som är nära den triviala lösningen som utgörs av Minkoswkirummet, så kommer lösningen fortsätta att vara nära Minkowskirummet för alla tider. Beviset är över 500 sidor långt.
Detta resultat är långt ifrån självklart då Einsteins ekvationer utgörs av ett system av icke-linjära partiella differentialekvationer. Ett enkelt exempel för att illustrera detta ges av den icke-linjära ordinära differentialekvationen

$\frac{d}{dt}x(t) = x^2(t)$

med begynnelsevärdet x(0) = x0 > 0. Lösningen ges av

$x(t) = \frac{x_0}{1-x_o t}$

Oavsett hur litet x0 är så går lösningen mot oändligheten då t → 1/x0. Den triviala lösningen x(t) = 0 är alltså inte stabil.

Minkowskirummet är en explicit lösning till Einsteins vakuum-ekvationer. Fysikaliskt mer intressanta lösningar är Kerr-lösningen och Schwarzschild- lösningen, vilka beskriver svarta hål med eller utan rotation. De senaste 20 åren har enormt mycket arbete ägnats åt att försöka bevisa att dessa lösningar ̈ är stabila. Klainerman och Szeftel lyckades visa icke-linjär stabilitet av Schwarzschild-lösningen 2017 i en 907 sidor lång artikel, se [4]. I fallet med Kerr-lösningen har man ännu inte lyckats visa icke-linjär stabilitet men under 2019 har två oberoende arbeten lagts ut på arXiv som visar linjär stabilitet, vilket är ett första steg mot icke-linjär stabilitet, se [1] och [3]. Märk att i det första av dessa arbeten är två av författarna svenskar! Det mesta tyder på att icke-linjär stabilitet för Kerr är inom räckhåll och inom ett par år finns med stor sannolikhet ett bevis. Man kan stilla undra hur många sidor det kommer att uppta?

Angående svarta hål måste jag nämna bilden på det svarta hålet beläget i galaxen M87 som togs av teleskopet “Event Horizon Telescope”. Det slogs upp stort i media och ett flertal internationella presskonferenser hölls angående denna händelse. Dessa presskonferenser kan man gärna se igen:

https://eventhorizontelescope.org/latest

Håkan Andréasson

Ordförande Sektionen för gravitation

References

[1] L. Andersson, T. Bäckdahl, P. Blue and S. Ma, Stability for linearized gravity on the Kerr spacetime. arXiv:1903.03859.

[2] D. Christodoulou and S. Klainerman, The Global Nonlinear Stability of the Minkowski Space, Princeton Mathematical Series, Vol. 41 (Princeton University Press, 1993).

[3] D. Häfner, P. Hintz and A. Vasy, Linear stability of slowly rotating Kerr black holes. arXiv:1906.00860.

[4] S. Klainerman and J. Szeftel, Global Nonlinear Stability of Schwarzschild Spacetime under Polarized Perturbations.arXiv:1711.07597.